author: ouuan, HeRaNO

堆

堆是一棵树，其每个节点都有一个键值，且每个节点的键值都大于等于/小于等于其父亲的键值。

每个节点的键值都大于等于其父亲键值的堆叫做小根堆，否则叫做大根堆。STL 中的 priority_queue 其实就是一个大根堆。

（小根）堆主要支持的操作有：插入一个数、查询最小值、删除最小值、合并两个堆、减小一个元素的值。

一些功能强大的堆（可并堆）还能（高效地）支持 merge 等操作。

一些功能更强大的堆还支持可持久化，也就是对任意历史版本进行查询或者操作，产生新的版本。

堆的分类

操作 \ 数据结构[1]	配对堆	二叉堆	左偏树	二项堆	斐波那契堆
插入（insert）	$O(1)$	$O(\log n)$	$O(\log n)$	$O(\log n)$[2]	$O(1)$
查询最小值（find-min）	$O(1)$	$O(1)$	$O(1)$	$O(1)$[3][4]	$O(1)$
删除最小值（delete-min）	$O(\log n)$[4:1]	$O(\log n)$	$O(\log n)$	$O(\log n)$	$O(\log n)$[4:2]
合并 (merge)	$O(1)$	$O(n)$	$O(\log n)$	$O(\log n)$	$O(1)$
减小一个元素的值 (decrease-key)	$o(\log n)$（下界 $\Omega(\log \log n)$，上界 $O(2^{2\sqrt{\log \log n}})$）[4:3]	$O(\log n)$	$O(\log n)$	$O(\log n)$	$O(1)$[4:4]
是否支持可持久化	$\times$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$

习惯上，不加限定提到「堆」时往往都指二叉堆。

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1. 表格来自于 Wikipedia ↩︎

2. 单次插入的复杂度为 $O(\log n)$，但有 $k$ 次连续插入时，可创建一个只包含要插入元素的二项堆，再将此堆与原先的二项堆进行合并，均摊复杂度为 $O(1)$ ↩︎

3. 可以保存一个指向最小元素的指针，在执行其他操作时修改该指针，即可在 $O(1)$ 的复杂度下进行查询了 ↩︎

4. 复杂度为均摊复杂度 ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎